Сокращение дробей: правила и примеры

Первые упоминания относятся еще к Древнему Египту – уже на тот момент великие мыслители и математики производили сложение нецелых чисел для различных целей. Они использовались в сложении или вычитании – иные математические действия проводились реже, так как в них не было практической значимости.

Тот вариант записи дробей, которые используется и сегодня, был придуман арабами. До этого предлагалось варианты, от использования шестидесятеричной формы, до применения Асс. Однако прошлые системы оказались непонятными в использовании и сложными математическими вычислениями.

Что такое дробь, понятия и виды

Дробью называется такое число, которое состоит из нескольких долей, равных между собой. Это форма записи, при которой одно число делится на другое. В математике существует 2 разновидности: обыкновенные и десятичные. Обыкновенная дробь записывается при использовании целых чисел, которые разделяются между собой чертой (горизонтальной или наклонной).

При работе поймите, что числителем называется то число, которой в верхней части, а знаменатель – в нижней.

Имеет вид правильной или неправильной дроби. Первый вариант: верхнее число, то есть числитель, оказывается меньше знаменателя, в неправильной дроби – наоборот. Если перед дробью имеется цельное число – ее можно перевести в неправильную для проведения вычислений.

Дополнительная информация! Если верхняя и нижние части одинаковые – это также неправильный вариант.

Смешанная

В ней присутствует как цельное число, так и дробное. Осуществляется перевод смешанной дроби в неправильную. 

Десятичные

В них в нижней части число, которое делится на 10 – 10, 100, 1000 и т.д. Они могут записываться  в виде чисел, разделенных дробной чертой. В виде строчной записи, например, 0,05 или 0,107 и т.д. Каждый выбирает удобный для себя вид записи или же осуществляет ее на основании требований, прописанных в решаемом задании.

Сократимые и несократимые

Еще одна вариация чисел. Сократимыми называются варианты, в которых и числитель, и знаменатель могут быть разделены на одно и то же число. Можно будет сделать форму записи несколько проще, из-за чего дальнейшие вычисления потребуют меньшего количества усилий.

Составные

Когда в числителе или знаменателе присутствует дополнительное дробное число.

Равные и неравные

Тут просто – сравнить два выражения, чтобы понять, являются они равными или неравными.

Положительные и отрицательные

Тут требуется оценить знак, расположенный перед выражением – если он положительный, то знак даже не прописывается, если отрицательный – прописывается.

Алгебраические выражения 

Используется на координатных прямых:

Действия, которые можно выполнить с дробями

С дробями проводятся все те же действия, что и со стандартными цифрами в математике – никаких отличий в данном случае нет.

Свойства:

• Для сложения и вычитания требуется привести выражения к равному знаменателю.

• Умножение осуществляется – числитель с числителем, знаменатель – со знаменателем.

• При делении осуществляется попеременное умножение.

Сравнение дробей

Для сравнения достаточно будет привести дроби к одинаковому делителю, после этого можно будет провести сравнения с получением точного результата.

Основное свойство 

Главное правило – производить умножение и деление обоих частей выражения можно только на одно и то же число. Еще один важный момент – НОД (наибольший общий делитель). Он может пригодиться при решении некоторых уравнений и примеров.

Общим делителем называется такое число, на которое может делиться каждое из чисел, представленных в условиях задания.

Алгоритм Евклида для вычисления НОД (наибольшего общего делителя)

Иногда привести выражение к наименьшему общему числителю, вследствие чего принимается решение использовать технику НОД.

Суть заключается в проведении ряда делений, на основании которых можно будет получить остаток. Стоит рассмотреть решение на примере для понимания моментов.

Сокращение дроби

Сокращение предполагает деление верхней и нижней части на одну и ту же цифру (обязательно!). Таким образом можно будет упростить проведение всех последующих действий.

Несократимый вид дроби, приведение к такому виду

Для того, чтобы дойти до подобного вида, необходимо будет сократить цифру. Для этого осуществляется ряд делений обоих частей выражения на одно и то же число до момента, пока делителя не останется и не будет возможности его вывести. После этого дробь считается несократимой – с такими вариантами проще все проводить манипуляции.

Совет! При уменьшении рекомендуется обратить внимание на дальнейшие условия решения задания. Иногда не следует приводить дробь к несократимому виду, так как в последующем может потребоваться ее увеличение для проведения сложения или вычитания.

Правило сокращения

Как уже говорилось ранее, сокращение предполагает деление на одну и ту же цифру для уменьшения размеров чисел в выражении. В последующем уменьшение положительно скажется на проведения математических расчетов.

Важно! Неправильные дроби также могут сокращаться для упрощения расчетов – не имеет значения, в каком виде они представлены, ученик в любом случае имеет право упростить для осуществления дальнейших расчетов.

Дополнительная информация! Можно разложить части на множители, после чего проверить, есть ли совпадения. Если да – цифры зачеркиваются и таким образом дробь становится проще.

Сокращение

Действия проводятся в 3 шага:

1. Выведение умножителя, который окажется общим
2. Сокращение коэффициента
3. Деление на множитель

Решение уравнения рекомендуется рассмотреть на примерах: