Как умножать матрицы – формула, расчет, вычисление, решение
Определение матрицы
Определение:
Матрица представляет собой таблицу элементов из строк m и столбцов n.
В зависимости от количества элементов, формы и размеры матриц могут различаться.
Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами, а ее элементы — строчными.
Пример №1
Существует два вида матриц:
- квадратная, а которой m = n;
- прямоугольная, в которой m≠ n.
Заметка
При умножении двух прямоугольных матриц получается матрица из такого же количества строк, как и в первой матрице, и из такого же количества столбцов, как во второй.
Какие матрицы можно умножать
Определение
Умножением матриц называется произведение двух матриц, в результате которого образуется одна матрица.
Произвести умножение двух матриц можно, только если количество столбцов одной матрицы равно количеству строк второй матрицы.
Пример №2
Можно ли умножить матрицу K на матрицу L?
В матрице K мы видим две строки и два столбца. В матрице L — две строки и один столбец. Число столбцов матрицы K равно числу строк матрицы L. Получается, что главное правило для проведения умножения матриц соблюдено.
Пример №3
Можно ли умножить матрицу F на матрицу C?
Матрица F состоит из двух строк и одного столбца, а матрица С — из двух строк и двух столбцов. Число столбцов матрицы F не равно числу строк матрицы C. Как итог, матрицу F нельзя умножить на матрицу C.
Умножение матрицы на матрицу
Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо последовательно умножать каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.
Пример №4
Умножим матрицу А на матрицу В, чтобы получить матрицу С.
Таким образом, получаем:
Заметка
Чтобы получить элемент cij нужно все элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.
Умножение матрицы на число
Определение
Умножение матрицы на число — это умножение всех элементов матрицы на это число.
то 
Пример №5
Умножьте матрицу A на число k = 2.
Умножение трех матриц
Произведение трех матриц ABC вычисляется двумя способами:
1. Вычислить AB и умножить на C: (AB)C;
Пример:
Даны три матрицы:
2. Вычислить BC и умножить на A: A (BC).
Пример:
Свойства матричного умножения
Чтобы определить свойства матриц, рассмотрим умножение матриц
Вычислим произведение AB и BA, а после сравним произведения:
Получается, что AB ≠ BA. Таким образом, формулируем первое свойство матриц:
Для произведения матриц не выполняется переместительный закон умножения, но выполняются сочетательный и распределительный.
Заметка
Сочетательный закон умножения:
Распределительный закон умножения:
Второе свойство матриц вытекает из правила о том, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Получается, что следующее свойство звучит так:
При умножении двух ненулевых матриц получается нулевая матрица.
Пример №6
Даны две матрицы A и B. Вычислим их произведение.
Примеры матричного умножения
Пример №7
Пример №8
Пример №9
